کار در کلاس صفحه 80 حسابان دوازدهم
اگر $f'(a)$ موجود باشد، ثابت کنید:
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
(راهنمایی: تغییر متغیر $x = a + h$ را به کار برید. توجه کنید وقتی $x \to a$ آنگاه $h \to 0$.)
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 80 حسابان دوازدهم
سلام! این تمرین نشان می‌دهد که دو تعریف رایج و پرکاربرد برای **مشتق تابع در یک نقطه ($f'(a)$)** در واقع یکسان هستند. 💡
---
### اثبات یکسانی دو تعریف مشتق
ما باید نشان دهیم که با تغییر متغیر در یکی از حدها، به دیگری می‌رسیم.
**تعریف دوم مشتق:**
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
**اعمال تغییر متغیر:**
ما تغییر متغیر پیشنهادی را در تعریف دوم اعمال می‌کنیم:
1. **تعریف تغییر متغیر:** $$x = a + h$$
2. **تعیین حد جدید:** وقتی $x$ به $a$ میل می‌کند ($x \to a$)، مقدار $h$ باید به صفر میل کند:
$$\lim_{x \to a} h = \lim_{x \to a} (x - a) = a - a = 0 \implies h \to 0$$
3. **بازنویسی صورت کسر:**
$$\text{صورت: } f(x) - f(a) \quad \xrightarrow{\text{جایگذاری } x = a+h} \quad f(a+h) - f(a)$$
4. **بازنویسی مخرج کسر:**
$$\text{مخرج: } x - a \quad \xrightarrow{\text{جایگذاری } x = a+h} \quad (a+h) - a = h$$
5. **جایگذاری در حد دوم:** با جایگذاری عبارات جدید و حد جدید ($h \to 0$) در تعریف دوم، به تعریف اول می‌رسیم:
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
**نتیجه:**
$$\mathbf{\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}$$
این دو عبارت در واقع **دو شکل معادل** از تعریف **مشتق تابع $f$ در نقطه $a$** هستند و هر دو مقدار $f'(a)$ را نشان می‌دهند.
